Este livro pretende fornecer aos estudantes dos cursos de Engenharia um texto que seja, simultaneamente, elementar e rigoroso e que lhes permita aprender os conceitos básicos do cálculo infinitesimal e as suas aplicações. Este livro vem no seguimento do livro Cálculo I – Conceitos, Exercícios e Aplicações e pretende estender os conhecimentos então estudados a funções com mais do que uma variável.
Conscientes da vastidão de possíveis caminhos a seguir na apresentação das matérias, os autores optaram por seguir uma sequência simples que tivesse em linha de conta os atuais ajustes dos objetivos da unidade curricular em que esta temática se enquadra, face à atual tendência para a diminuição dos tempos letivos e incentivo à utilização de software. Neste sentido, este livro está organizado em cinco capítulos, ao longo dos quais se procurou obedecer a uma estrutura evolutiva em torno do rigor e da formalidade, mas sem excessos de nomenclatura.
No primeiro capítulo estudam-se as funções reais de variáveis reais, o segundo capítulo incide sobre o estudo das séries de Fourier, o terceiro capítulo destina-se às transformadas de Laplace, no quarto capítulo apresentam-se métodos de resolução de equações diferenciais e, por último, o quinto capítulo destina-se ao cálculo integral.
Em cada um deles, é proporcionado um conjunto de exercícios variados e não repetitivos, em número suficiente e equilibrado, apresentando-se alguns deles já resolvidos, propondo-se outros para resolução e ilustrando algumas aplicações práticas de integração de conhecimentos, recorrendo a software de cálculo
algébrico e numérico.
1. Funções de várias variáveis reais
1.1. Breves noções topológicas
1.2. Domínios
1.3. Limites
1.4. Continuidade
1.5. Derivadas parciais
1.6. Derivadas de ordem superior
1.7. Diferenciabilidade e gradiente
1.8. Reta normal e plano tangente
1.9. Função composta
1.10. Função homogénea
1.11. Funções implícitas
1.12. Extremos de funções de duas ou mais variáveis
1.13. Extremos condicionados de funções de duas ou mais variáveis
1.14. Exercícios resolvidos
1.14.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
1.15. Exercícios propostos
1.16. Soluções dos exercícios propostos
2. Séries de Fourier
2.1. Introdução
2.1.1. Funções seccionalmente contínuas
2.1.2. Funções com paridade ou simetria
2.1.3. Funções periódicas
2.1.4. Alguns resultados relevantes a considerar
2.2. Série de Fourier trigonométrica
2.2.1. Aproximação de funções periódicas por séries de funções
2.2.2. Série de Fourier na forma trigonométrica
2.2.3. Série de Fourier de funções com paridade
2.2.4. Convergência da série de Fourier
2.2.5. Generalização da série trigonométrica de Fourier
2.2.6. Séries de Fourier de funções não periódicas
2.2.7. Representação nos domínios tempo e frequência
2.2.8. Energia de um sinal
2.3. Série de Fourier exponencial
2.3.1. Números complexos
2.3.2. Forma exponencial da série de Fourier
2.4. Exercícios resolvidos
2.4.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
2.5. Exercícios propostos
2.6. Soluções dos exercícios propostos
3. Transformadas de Laplace
3.1. Transformada de Laplace
3.2. Transformada de Laplace inversa
3.3. Transformada de Laplace de derivadas
3.4. Exercícios resolvidos
3.4.1. Exercícios resolvidos em MATLAB
3.5. Exercícios propostos
3.6. Soluções dos exercícios propostos
4. Equações diferenciais
4.1. Classificação de uma equação diferencial
4.2. Solução de uma equação diferencial
4.3. Construção de uma equação diferencial
4.4. Trajetórias ortogonais
4.5. Resolução de um PVI utilizando transformadas de Laplace
4.6. Resolução analítica de EDOs de 1ªordem
4.6.1. EDOs de variáveis separáveis
4.6.2. EDOs homogéneas
4.6.3. EDOs redutíveis a homogéneas
4.6.4. EDOs totais exatas
4.6.5. EDOs quase exatas
4.6.6. EDOs lineares
4.7. Resolução analítica de EDOs de 2ªordem
4.7.1. EDOs homogéneas de 2ªordem e de coeficientes constantes
4.7.2. EDOs não homogéneas de 2ªordem e de coeficientes constantes
4.7.2.1. Método de Lagrange (da variação das constantes)
4.7.2.2. Método dos coeficientes indeterminados
4.7.2.3. Particularidades da solução de uma EDO linear
4.8. Resolução numérica de uma EDO
4.8.1. Campo de direções
4.8.2. Método de Euler para EDOs de 1ª ordem
4.8.3. Sistemas de EDOs de 1ª ordem
4.8.4. Diagramas de fase
4.9. Método de Euler para sistemas de EDOs
4.10. Exercícios resolvidos
4.10.1. Exercícios resolvidos no MATLAB
4.11. Exercícios propostos
4.12. Soluções dos exercícios propostos
5. Integrais múltiplos
5.1. Integrais duplos
5.1.1. Propriedades do integral duplo
5.1.2. Cálculo de integrais duplos em coordenadas retangulares
5.1.2.1. 1º Caso - regiões limitadas por retas paralelas aos eixos coordenados
5.1.2.2. 2º Caso - regiões quaisquer
5.1.3. Interpretação geométrica do integral duplo
5.1.4. Aplicação de integrais duplos no cálculo de áreas e volumes
5.1.5. Mudança de variável (caso geral)
5.1.6. Cálculo de integrais duplos em coordenadas polares
5.2. Áreas de superfícies
5.3. Integrais triplos
5.3.1. Cálculo de integrais triplos em coordenadas retangulares
5.3.1.1. 1º Caso - regiões formadas por planos paralelos aos planos coordenados
5.3.1.2. 2º Caso - regiões quaisquer
5.4. Exercícios resolvidos
5.5. Exercícios propostos
5.6. Soluções dos exercícios propostos
Os autores são docentes do Departamento de Matemática do Instituto Superior de Engenharia (ISEP) Ana C. Meira Castro é doutorada em Ciências de Engenharia e investigadora no CERENA - Centro de Investigação em Recursos naturais e Ambiente na área de geoambiente. Os seus principais interesses focam
aquisição e análise de dados, modelação e análise de risco.
Ana Júlia Viamonte é doutorada em Ciências, área de Matemática e área específica de Álgebra Linear Numérica e investigadora no LEMA - Laboratório de Engenharia Matemática do ISEP na área de didática do ensino da matemática e álgebra linear numérica.
António Varejão Sousa é doutorado em Ciências de Engenharia e investigador no INEB - Instituto de
Engenharia Biomédica na área de processamento e análise de imagem biomédica. Os seus principais interesses
focam o processamento e análise de dados.