Este livro apresenta uma introdução sólida e aplicada aos Métodos Numéricos, articulando fundamentos teóricos, resolução analítica clássica e implementação computacional em Matlab e Python. Destina-se a estudantes do ensino superior nas áreas da Matemática, Engenharia, Ciências e Tecnologia, abordando de forma sistemática os principais conceitos da análise numérica, como erro, estabilidade, consistência e convergência, que constituem os alicerces para o estudo da resolução numérica de equações não lineares e de sistemas de equações, da interpolação de funções, da integração numérica e das equações diferenciais ordinárias. Cada método é desenvolvido com suporte teórico, análise de erro e exemplos detalhados, complementados por algoritmos e código comentado. Os exercícios resolvidos e propostos promovem uma aprendizagem prática e consolidam as competências teóricas e computacionais essenciais em Métodos Numéricos.
Prefácio
1 Erros
1.1 Tipos de Erros
1.2 Representação de Números Inteiros e Reais
1.2.1 Representação de números inteiros
1.2.2 Representação de números reais
1.2.3 Notação científica ou de ponto (vírgula) flutuante
1.3 Erros de Arredondamento
1.3.1 Erro absoluto e erro Relativo
1.3.2 Casas decimais corretas e algarismos significativos
1.4 Propagação do Erro
1.5 Condicionamento e Estabilidade
1.5.1 Curiosidades
1.6 Exercícios
2 Equações Não Lineares
2.1 Localização da raízes
2.1.1 Método gráfico
2.1.2 Método dos Números de Rolle
2.2 Métodos iterativos
2.2.1 O Método da bissecção
2.2.2 Método do Ponto fixo
2.2.3 Método de Newton
2.2.4 Método da Secante
2.3 Exercícios
2.4 Códigos em Python
3 Sistemas de Equações
3.1 Normas vetoriais e matriciais
3.2 Erro absoluto e erro relativo
3.3 Métodos iterativos
3.3.1 Método de Jacobi
3.3.2 Método de Gauss-Seidel
3.3.3 Fórmulas de Recorrência
3.3.4 Sistemas de equações não lineares
3.4 Exercícios
3.5 Códigos em Matlab e Python
4 Aproximação de Funções
4.1 Polinómio interpolador
4.1.1 Fórmula interpoladora de Lagrange
4.1.2 Erro do polinómio interpolador de Lagrange
4.1.3 Fórmula interpoladora de Newton
4.2 Splines: interpolação polinomial por partes
4.2.1 Tipos mais comuns
4.2.2 Spline cúbica natural: derivação do sistema
4.2.3 Implementação computacional
4.3 Mínimos Quadrados
4.3.1 Método do mínimos quadrados
4.4 Exercícios
4.5 Códigos em Python
5 Integração Numérica
5.1 Regra dos Retângulos
5.2 Regra do Trapézio
5.3 Regra de Simpson
5.4 Fórmulas Compostas
5.5 Outros métodos de integração numérica
5.6 Exercícios
5.7 Códigos Python
6 Problemas de Valor Inicial
6.1 Existência e unicidade da solução
6.1.1 Problema bem posto
6.2 Métodos numéricos
6.2.1 Métodos de Taylor
6.2.2 Métodos de Euler
6.2.3 Métodos de Runge-Kutta
6.3 Convergência de métodos numéricos
6.3.1 Formulação geral de métodos de Passo Simples
6.3.2 Erro de truncatura e consistência
6.3.3 Exemplos de erros de truncatura
6.3.4 Convergência dos métodos numéricos
6.4 Exercícios
6.5 Códigos Python
Bibliografia
Maria Luísa Morgado licenciou-se em Matemática Aplicada e Computação, em 1994, no Instituto Superior Técnico (IST). Obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada, em 2000, pela Universidade do Porto. Em 2008, concluiu o doutoramento em Matemática Aplicada na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (UTAD). Em 2020 concluiu as provas de Agregação em Matemática no Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa. É Professora Catedrática do Departamento de Matemática da Escola de Ciências e Tecnologia da UTAD e é membro efetivo do Centro de Matemática Computacional e Estocástica do IST-ID.
João Matias obteve a licenciatura em Matemática pela Universidade de Coimbra (1990), o mestrado em Informática pela Universidade do Minho (1996) e posteriormente o grau de Doutor em Matemática Aplicada pela Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (2003). É membro integrado do Centro de Investigação (CMAT) da Universidade do Minho, sendo atualmente docente do Departamento de Matemática da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde leciona várias unidades curriculares de cursos de Engenharias e de Matemática e Ciências de Dados.
Luís L. Ferrás obteve licenciatura em Matemática pela Universidade de Aveiro (2005) e mestrado em Matemática Aplicada pela Universidade do Porto (2007). É doutorado em Engenharia pela Universidade do Minho (2012) e em Matemática pela Universidade de Chester, Reino Unido (2019). Desenvolveu atividade de investigação na Universidade de São Paulo, no Massachusetts Institute of Technology e na Universidade do Minho.
É membro integrado do Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte (CEFT), colaborador externo do Centro de Matemática da Universidade do Minho e docente no Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.