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Cálculo Diferencial e Integral em Rn

ISBN: 9789898481160

Autor: Gabriel Pires

Editora: IST PRESS

Número de Páginas: 400

Idioma: Português

Data Edição: 2012

22,50 €25,00 €
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ESTE LIVRO destina-se a alunos de engenharia, matemática, física, química e outras áreas das ciências exatas, cobrindo aspetos fundamentais na compreensão dos modelos matemáticos dos fenómenos físicos, químicos, económicos, entre outros.

O livro está estruturado em duas partes. Na primeira estudam-se as noções de continuidade e diferenciabilidade. O gradiente de uma função escalar e a derivada da função composta são os conceitos estruturantes. Na segunda, o conceito de integral de uma função desempenha o papel central. As noções de comprimento, área, volume, fluxo e trabalho são apresentados nas suas relações com as de linha, superfície e sólido. Os teoremas de Green, Gauss e Stokes são apresentados em versões simples mas elucidativas do ponto de vista analítico e geométrico.

Os conceitos são profusamente ilustrados com exemplos e figuras, que facilitam a respetiva apreensão, especialmente para alunos que têm o primeiro contacto com estas matérias. No fim de cada capítulo, apresenta-se um conjunto de exercícios de dificuldade variável, que complementa a lista de problemas resolvidos ao longo do texto.

O livro pode ser complementado com o manual de exercícios, do mesmo autor, Exercícios de Cálculo Integral em Rn, quarto volume da Coleção Apoio ao Ensino.
PREFÁCIO
1 LIMITES. CONTINUIDADE
1.1 Introdução
1.2 Norma. Distância. Bola
1.3 Exemplos de Conjuntos em R2 e em R3
1.4 Interior, Exterior e Fronteira
1.5 Sucessões em Rn
1.6 Funções Definidas em Rn
1.6.1 Campos Escalares. Gráficos. Conjuntos de Nível
1.6.2 Campos Vetoriais
1.6.3 Funções Injetivas. Parametrizações
1.6.4 Funções Contínuas e Sucessões
1.6.5 Continuidade e Limite. Propriedades
1.6.6 Conjuntos Fechados. Exemplos
1.6.7 Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass
1.7 Exercícios

2 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS
2.1 Derivadas Parciais
2.2 Identificação de Funções Diferenciáveis
2.3 Derivada Direcional. Gradiente
2.4 Linha. Vetor Tangente
2.5 Conjunto de Nível. Vetor Normal
2.6 Exercícios

3 EXTREMOS
3.1 Derivadas de Ordem Superior
3.2 Extremos de Funções Escalares
3.3 Exercícios

4 FUNÇÃO INVERSA. FUNÇÃO IMPLÍCITA
4.1 Exemplos em R2
4.2 Exemplos em R3
4.3 Função Inversa. Função Implícita. Teoremas
4.4 Exemplos
4.5 Exercícios
5 VARIEDADES. EXTREMOS CONDICIONADOS
5.1 Variedades. Parametrizações
5.2 Extremos Condicionados
5.3 Exercícios

6 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS
6.1 Intervalos. Partições. Funções em Escada
6.2 Funções Integráveis à Riemann
6.3 Cálculo do Integral. Teorema de Fubini
6.4 Integral em Conjuntos Limitados. Volumes em Rn
6.5 Integrais Paramétricos. Regra de Leibniz
6.6 Exercícios

7 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE FUBINI
7.1 Cálculo de Integrais em R2: Áreas
7.2 Cálculo de Integrais em R3: Volumes
7.3 Exercícios

8 TEOREMA DA MUDANÇA DE VARIÁVEIS8.1 Mudança de Variáveis
8.2 Teorema da Mudança de Variáveis
8.3 Exercícios

9 INTEGRAIS EM VARIEDADES
9.1 Integral de Linha de Um Campo Escalar
9.1.1 Comprimento de Uma Linha
9.1.2 Aplicações
9.1.3 Exemplos
9.2 Integral de Superfície de Um Campo Escalar
9.2.1 Área de Uma Superfície
9.2.2 Aplicações
9.2.3 Exemplos
9.3 Exercícios

10 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
10.1 Trabalho. Potencial Escalar
10.2 Campos Vetoriais Fechados. Homotopia
10.3 Exercícios

11 TEOREMA DE GREEN NO PLANO
11.1 Domínio Elementar
11.2 Teorema de Green
11.3 Exercícios

12 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
12.1 Fluxo de Um Campo Vetorial
12.2 Teorema da Divergência
12.3 Exercícios

13 TEOREMA DE STOKES
13.1 Superfícies Orientáveis
13.2 Fronteira ou Bordo de Uma Superfície
13.3 Teorema de Stokes
13.4 Potencial Vetorial
13.5 Exercícios

BIBLIOGRAFIA
ÍNDICE REMISSIVO
GABRIEL PIRES é licenciado em Física pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (1984). Mestre em Matemática Aplicada pelo Instituto Superior Técnico (IST), Universidade Técnica de Lisboa (1991). PhD in Mathematics, University of Wisconsin, Madison, USA (1995). Docente de Matemática no IST desde 1986. Professor auxiliar do Departamento de Matemática do IST desde 1996. Membro do Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos (CAMGSD) do IST.