O presente livro de texto é sem dúvida uma obra interessante e uma contribuição útil para a literatura de carácter introdutório às equações diferenciais. O tratamento dos assuntos é exigente e são postos à disposição do leitor os elementos necessários para a compreensão da matéria. Em particular, os numerosos exemplos, que são na realidade exercícios resolvidos com um detalhe razoável, constituem um importante auxiliar de aprendizagem para o aluno.
PREFÁCIO
INTRODUÇÃO 1
I - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES 5
1 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 7
1.1 Generalidades 9
1.2 Sistemas Lineares Homogéneos: Propriedades Algébricas das Soluções 12
1.3 Equações Diferenciais Lineares Escalares 21
1.4 Sistemas Lineares: Caso Geral 28
1.5 Sistemas Lineares Autónomos Homogéneos 32
1.5.1 A Função Exponencial de Matrizes 32
1.5.2 Cálculo de e At : Teorema de Cayley-Hamilton e Método de Putzer 43
1.5.3 Cálculo de e At : Redução a formas canónicas 54
1.5.4 Cálculo de Matrizes Fundamentais: Método dos Valores e Vectores Próprios 59
1.5.5 Introdução à Teoria Qualitativa 67
1.6 Sistemas lineares não-homogéneos 91
1.6.1 Fórmula de variação das constantes 91
1.6.2 Método dos Palpites 93
2 SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR À PRIMEIRA 103
2.1 Preliminares 105
2.2 Caso Geral 106
2.3 Equações Escalares com Parte Homogénea Autónoma: Método dos Coeficientes Indeterminados 109
II - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS NÃO-LINEARES 119
3 EQUAÇÕES SEMILINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 121
3.1 Equações Escalares 123
3.1.1 Equações Separáveis 123
3.1.2 Equações Exactas e Redutíveis a Exactas 129
3.1.3 Alguns Tipos Especiais de Equações não-Lineares 139
3.2 Existência e Unicidade de Soluções, Prolongamentos e Dependência de Condições Iniciais e Parâmetros 144
3.2.1 Existência e Unicidade 145
3.2.2 Prolongamento a Intervalos Máximos 155
3.2.3 Referência à Dependência de Condições Iniciais e Parâmetros 165
3.3 Introdução a Métodos Numéricos 166
3.3.1 Campos de Direcções e Gráfico de Soluções 167
3.3.2 O Método de Euler 169
3.4 Introdução à Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias Autónomas Bidimensionais 173
3.4.1 Linearização em Torno de Pontos de Equilíbrio 176
3.4.2 Conjuntos-limite de Semiórbitas Limitadas 186
3.4.3 Constantes do Movimento e Funções de Liapunov 195
3.4.4 Comentários Finais 226
III - EXERCÍCIOS 227
4 EXERCÍCIOS 229
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 243
ÍNDICE REMISSIVO 244
Fernando Pestana da Costa licenciou-se em Engenharia Química no Instituto Superior Técnico em 1985 e obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada, também no IST, em 1989. Em 1993 concluiu o seu doutoramento em Matemática na Heriot-Watt University em Edimburgo (Escócia). Actualmente é membro do Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos do Instituto Superior Técnico, onde faz investigação na área de Equações Diferenciais, e desenvolve a sua actividade lectiva como Professor Associado do Departamento de Ciências Exactas e Tecnológicas na Universidade Aberta.