Este livro é uma primeira introdução à teoria dos sistemas dinâmicos, podendo servir de texto base auto-contido a uma disciplina correspondente. Pode também ser usado para estudo independente ou como ponto de partida para o estudo de tópicos mais avançados.
Em particular, incluímos introduções a dinâmica topológica, dinâmica de baixa dimensão, dinâmica hiperbólica, dinâmica simbólica e teoria ergódica, com ênfase nas relações entre as várias áreas. Salientamos que a teoria dos sistemas dinâmicos é muito vasta, além de ser extremamente activa em termos de investigação, pelo que foi necessário fazer uma selecção cuidada do material, indicando bibliografia adicional para tópicos mais avançados.
A exposição é directa mas também rigorosa. Em particular, todos os resultados apresentados são demonstrados, com cada demonstração tão simples quanto possível. O texto inclui ainda numerosos exemplos, além de 140 exercícios, com nível de dificuldade variável.
Também dos mesmos autores: Equações Diferenciais: Teoria Qualitativa
1 Noções Básicas
1.1 Noção de sistema dinâmico
1.2 Exemplos com tempo discreto
1.2.1 Rotações da circunferência
1.2.2 Transformações expansoras
1.2.3 Endomorfismos do toro
1.3 Exemplos com tempo contínuo
1.3.1 Equações diferenciais autónomas
1.3.2 Relações entre tempo discreto e tempo contínuo
1.3.3 Equações diferenciais no toro
1.4 Conjuntos invariantes
1.5 Exercícios
2 Dinâmica Topológica
2.1 Sistemas dinâmicos topológicos
2.2 Conjuntos limite
2.2.1 Tempo discreto
2.2.2 Tempo contínuo
2.3 Recorrência topológica
2.3.1 Transitividade topológica
2.3.2 Mistura topológica
2.4 Entropia topológica
2.4.1 Noções básicas e exemplos
2.4.2 Invariância topológica
2.4.3 Caracterizações alternativas
2.4.4 Transformações expansivas
2.5 Exercícios
3 Dinâmica de Baixa Dimensão
3.1 Homeomorfismos da circunferência
3.1.1 Levantamentos
3.1.2 Noção de número de rotação
3.1.3 Número de rotação racional
3.1.4 Número de rotação irracional
3.2 Difeomorfismos da circunferência
3.3 Transformações do intervalo
3.3.1 Existência de pontos periódicos
3.3.2 Ordem de Sharkovsky
3.4 Teoria de Poincaré-Bendixson
3.4.1 Intersecções com secções transversais
3.4.2 Teorema de Poincaré-Bendixson
3.5 Exercícios
4 Dinâmica Hiperbólica I
4.1 Conjuntos hiperbólicos
4.1.1 Noções básicas
4.1.2 Ferradura de Smale
4.1.3 Continuidade dos espaços estáveis e instáveis
4.2 Conjuntos hiperbólicos e cones invariantes
4.2.1 Cones e caracterização de conjuntos hiperbólicos
4.2.2 Existência de cones invariantes
4.2.3 Critério de hiperbolicidade
4.3 Estabilidade de conjuntos hiperbólicos
4.4 Exercícios
5 Dinâmica Hiperbólica II
5.1 Vizinhança de pontos fixos hiperbólicos
5.1.1 Teorema de Grobman-Hartman
5.1.2 Teorema de Hadamard-Perron
5.2 Variedades invariantes estáveis e instáveis
5.2.1 Existência de variedades invariantes
5.2.2 Estrutura produto
5.3 Fluxos geodésicos
5.3.1 Geometria hiperbólica
5.3.2 Quocientes por isometrias
5.3.3 Fluxo geodésico
5.3.4 Fluxos hiperbólicos5.4 Exercícios
6 Dinâmica Simbólica
6.1 Noções básicas
6.1.1 Espaço de sucessões e transformação desvio
6.1.2 Entropia topológica
6.1.3 Sucessões bilaterais
6.2 Exemplos de codificações
6.2.1 Transformações expansoras
6.2.2 Transformações quadráticas
6.2.3 Ferradura de Smale
6.3 Cadeias de Markov topológicas
6.3.1 Noções básicas
6.3.2 Pontos periódicos
6.3.3 Entropia topológica
6.3.4 Transitividade e mistura topológicas
6.4 Ferraduras e cadeias de Markov
6.5 Funções zeta
6.6 Exercícios
7 Teoria Ergódica
7.1 Noções de teoria da medida
7.2 Medidas invariantes
7.3 Recorrência não-trivial
7.4 Teorema ergódico
7.5 Expoentes de Lyapunov
7.6 Entropia
7.7 Exercícios
Bibliografia
LUÍS BARREIRA é professor de Matemática no Instituto Superior Técnico. Doutorou-se em Matemática na Pennsylvania State University em 1996. Recebeu os prémios Gulbenkian Ciência, UTL/Santander Totta em Matemática e Ferran Sunyer i Balaguer. É autor de 16 livros e de mais de 100 artigos de investigação em matemática, sobretudo em equações diferenciais e sistemas dinâmicos.
CLAUDIA VALLS é professora de Matemática no Instituto Superior Técnico. Doutorou-se em Matemática na Universitat de Barcelona em 1999. Recebeu o prémio UTL/Santander Totta em Matemática. É autora de 8 livros e de mais de 100 artigos de investigação em matemática, sobretudo em equações diferenciais e sistemas dinâmicos.